Syn Alberta Cunyho, právníka v Saint-Malo a Marguerite Soudée, Alain Cuny byl vychován velmi přísnou tetou a strávil velkou část svého dětství s ní v Boucey. Vyrůstal v sirotčinci, kam ho rodiče umístili. Velmi brzy se začal zajímat o kresbu a malbu. V roce 1923 byl studentem na Ecole des Beaux-Arts v Paříži. Ještě velmi mladý vyráběl kulisy a navrhoval plakáty pro divadlo a kino. Zajímal se také o psychoanalýzu, a psal o ní články. Stal se vášnivým žákem Lacana a surrealismu, často se setkával s André Bretonem, Rogerem Vitracem, Antoninem Artaudem s Rogerem Blinem, Robertem Desnosem a prostřednictvím Pierra Reverdyho potkal i Pabla Picassa.
Při své kariéře dekoratéra objevil profesi herce a stal se žákem Charlese Dullina, který mu řekl: Můžeš se věnovat divadlu, jestli chceš. V roce 1939 měl hrát po boku Marie Bell v Comédie-Française, ale příchozí válka projekt přerušila. Ve stejném roce, již známý ve světě divadla, se poprvé objevil ve filmech Remorques Jeana Grémillona a Madame Sans-Gêne Rogera Richebého. Do povědomí diváků se poprvé zapsal v roce 1942 v Les Visiteurs du soir Marcela Carného, ​​kde ztvárnil roli pěvce Gillese, který podepsal smlouvu s ďáblem. Znovu se objevil ve snímku Stín minulosti Jeana Cocteaua v roce 1943. Během války se setkal s Paulem Claudelem, který si ho v roce 1944 vybral, aby hrál Pierra de Craona v L’Annonce made à Marie.
Po válce se Cuny zúčastnil festivalu v Avignonu a připojil se k Théâtre National Populaire Jeana Vilara, kde hrál Shakespeara, Anouilha, Sartra, Pirandella, Claudela. Zároveň se nadále objevoval na plátně, ve francouzském a italském filmu: jeho kariéra v Itálii začala v roce 1950, kdy mu Curzio Malaparte dal příležitost ve filmu Il Cristo proibito. Poté spolupracoval s Michelangelem Antonionim (Dáma bez kamélií, 1953) a Federicem Fellinim (Saldký život, 1959). V roce 1956 hrál Frolla ve Zvoník u Matky Boží. Na konci 50. let přišel do divadelní společnosti Renaud-Barrault, kde hrál například Simona Agnela v Tête d’Or od Claudela. V roce 1960, během alžírské války, byl jedním ze signatářů Manifestu 121.
V roce 1969 hrál Lichase ve Felliniho filmu Satyricon.
V roce 1974 hraje Alain Cuny roli Maria, teoretika volné lásky, ve filmu Emmanuelle, kde hojně cituje Gastona Bachelarda. Později prohlásil: Hrál jsem v Emmanuelle, abych se zbavil úcty lidí, kterých jsem si nevážil.
Od poloviny 70. let zvolnil tempo jak na jevišti, tak na obrazovce. Několikrát vystupoval při čtení textů na Festival d’Avignon a natáčel s Francescem Rosim nebo Jean-Lucem Godardem. V roce 1988 ztvárnil v Camille Claudel roli otce Paula Claudela, což mu v následujícím roce vyneslo nominaci na Césara za nejlepšího herce ve vedlejší roli. Ve dvaaosmdesáti letech přešel k filmové režii a podle Claudelovy hry režíroval L’Annonce fait à Marie. Svou poslední roli na plátně měl v roce 1992 ve filmu Alaina Delona Poslední Casanova.
V roce 1962 se oženil s Marie-Blanche Guidicelli. Pár se rozvedl v roce 1969.